Názor k článku Bezpečnostní střípky za 33. týden roku 2006 od su - \mathfrak{M}ĦĒNJMARCHON - A on to este nerozhodol? ;-) Na jednom cviku...
-
su - \mathfrak{M}ĦĒNJMARCHON (neregistrovaný)A on to este nerozhodol? ;-)
Na jednom cviku z analyzy sme riesili nieco podobne - uz si presne nepamatam zadanie, ale pointa bola, ze nejaka mnozina bodov v R ma bud mieru 0 alebo nenulovu mieru (kontinuum), okrem nemeratelnych mnozin.
Ked som robil souborku, tak mi Schneier vkrocil do sna a povedal mi dokaz. No nenapisal som si ho hned, bavili sme sa, ze pridanim axiomu vyberu k Zermelo-Franklovej teorii vyjde |N|=|R|.
Naznak:
Z axiomu vyberu plynie, ze na kazdej mnozine existuje selektor. Na kazdej mnozine existuje dobre usporiadanie. Zoberme si R a N, dobre usporiadanie na N je jasne, a vieme ze na R je tiez.
Budeme vyrabat funkciu f, ekvivalenciu (bijekciu).
1. Vysekneme najmensi prvok c \in N, d \in R, dame ich do relacie f(c)=d
2. Prvky c, d zahodime z R, N, pokracujeme bodom 1 s orezanymi mnozinami
Nakoniec vyjde, ze |N|=|R|, pretoze Archimedov "axiom" (N je nekonecne mnoho, \omega). Je to uz nejaky piatok, co som mal teoriu mnozin, ale za a) ten dokaz zavana transfinitnou indukciou, b) je v spore s Cantorovou vetou: pre kazdu mnozinu m plati m ostro subvalentne P(m), kde P(m) je potencna mnozina. Pre konecne cisla je to jasne, ale v tych nekonecnych sa uz nejak stracam. Takze bud ma chybu Cantor alebo ja ;-) Len teda ju neviem najst.
Inak ak sa dobre pamatam, tak Cantor sa trocha zblaznil z tej hypotezy kontinua, ked sa stavil s niekym ze do troch dni rozhodne, ci je nieco medzi \omega a P(\omega). No mal nerozhodnutelny problem.
Spat k Schneierovi: som pridaval takyto fakt, ale este sa tam neobjavil:
Once upon a time, God kindly asked Schneier to invent an unbreakable cryptosystem to help the good people. Schneier responded by factoring God in Z[i], changed some of the factors turning God into Devil and forced the Devil to break RSA and DLOG. As a consequence, Moses, Jesus and Mohammed appeared somewhere near Alpha Centauri travelling backward in time. That's why there are black holes in the universe.
No mozno na vtip je to moc dlhe, ale ako rozpravka sa to snad hodi ;-]
