Názory k článku Patologické křivky a jiná matematická monstra

Připomnělo mi to střední školu, kdy jsem měl dva koníčky: kartografii a programování. Tenkrát jsem měl potřebu složit dvě navazující funkce tak, aby k určitému bodu platila jedna, dále pak druhá. Například: pro čísla menší než 0 platí f(x) = x^2, pro čísla větší než 0 platí f(x)=sin(x).
Ale jak udělat podmínku v zápisu funkce?
Stačila na to absolutní hodnota: f(x) = ( (((x/abs(x))+1)/2)*­(x^2) ) + ( (((-x/abs(x))+1)/2) * sin(x) )
Konstrukce (((x/abs(x))+1)/2) je "vypínač", který je pro záporné hodnoty nulový, pro kladné jednička, a v nule aby si člověk vybral. ;o)
Když to viděl učitel matematiky, tak pravil, že se mnou nehodlá ztrácet čas a musel jsme mu svatosvatě slíbit, že se matematice věnovat nebudu.

To mě připadne jako dobré řešení (možná až na tu 0/0, ale to lze dodefinovat, třeba pro sinc to prostě JE jednička). Co přesně se tomu učiteli nelíbílo? Že jste přišel s vlastním řešením?

Jemu se asi spíš nelíbilo zadání, než řešení.
Nechápal, proč bych se měl snažit přejít od jedné křivky ke druhé - a proč to tak krkolomně zapisovat do jedné funkce.
Já se snažil napsat jednou funkcí Goodeovu úpravu zobrazení (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Goode-homolosine-projection.jpg). Je to v podstatě nesmysl, stačí říct "pro obor hodnot od-do platí vzorec, pro obor hodnot..."
Jenže mi to komplikovalo tvorbu programu pro kreslení map - ty podmínky se mi tam nelíbily, protože jsem měl jednu universální funkci pro zobrazení, kam se jen podhodil "vzorec". Takže jsem kreativně použil programátorský postup v matematice, abych nemusel řešit programování další, v podstatě jednoúčelové, funkce...
Však on ten výsledek v podobě zápisu na půl stránky papíru nebyl nic pěkného.
A pan profesor byl velmi uznalý a znalý pán, který nás mnoho naučil. Vzpomínám naň rád. Ohledně "přepínaných funkcí" jsme se neshodli, ale byl to, v podstatě, "odborný spor". A ani jeden z nás neměl k tomu druhému zášť.

Hm, ale ve fyzice se ona absolutni hodnota pouziva pro tohleto spojovani funkci celkem bezne. Nebo treba sgn(x), coz je ale vlastne abs(x)/x. Clovek si musi dat pozor na to 1/x, ale reseni, pokud fungovalo jak ma, je naprosto v pohode.

Tzv. "patalogicke krivky" nema moc smysl analyzovat numericky, ani graficky, protoze vetsina jejich "patologickych" vlastnosti se neda v principu studovat ani korektne zobrazovat. Jedinym adekvantnim postupem je dusledna matematicka analyza, ktera je v tomto pripade ciste teoreticka je zalozena zcela na strikni aplikaci matematickych definic a logicko-analytickych metodach.

Matematici tyto "patoligicke" funkce definuji proto, aby poukazali na urcite slabiny v zakladnich definicich pojmu jako je spojitost, derivace, atd.. "patalogicke funkce" vyhovuji obecne definici funkce, ale pri aplikaci pojmu spojitost, derivace,... vedou k paradoxnim zaverum, nebo nestandardnim zaverum. Tot vse ...

V pripade studia techto objektu pomoci standardnich numerickych a vyzualizacnich nastroju velmi rychle narazime na problem adekvatni numericke presnosti a nasledne k tomu, ze numericke vlastnosti "patologicke funkce" prestanou byt matematicky konzistentni (Numericka realizace funkce je vzdy diskretni!!! Coz vede drive ci pozdeji, k nemoznosti tyto funkce detailne studovat). Velice rychle proto straceji jakykoli informacni smysl a v praxi nevedou k zadnym dalsim zajimavym zjistenim. Nekdy jsou dokonce zcela matouci a zavadejici. Zadny matematik, nestuduje detailne tyto objekty numericky. A pro nikoho jineho nez pro matematiky nemaji tyto objekty skutecne hluboky smysl. Svet kolem nas je totiz na mikroskopicke urovni take diskretni, takze prakticke pouziti paradoxu patalogickych funkci je zcela minimalni.

To ovsem nebrani tomu, snazit se o vizualizace, ktere mouhou byt subjektivne velice inspirativni, ale to je bohuzel vse. V objektivni rovine je treba se mit u numerickych simulaci patalogickych funkci velice na pozoru.

Omlouvam se za radu preklepu ... psat neco delsiho z mobilu je vzdy velmi osemetne :)